Enseignant: Prof. Friedrich Eisenbrand
Assistant principal: Alexandra Lassota
Autres assistants: Jana Cslovjecsek, Matthieu Haeberle, Adam Polak, Bouabda Adam, Paul Feyel, Martin Moureau, Lucas Tavier
Objectifs
L’objectif du cours est d’introduire les notions de base de l’algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.
Contenu
Valeurs propres et vecteurs propres : polynome caracteristique, matrices semblables, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton.
Produits scalaires: bases orthogonales, méthode de Gram-Schmidt, matrices orthogonales, la méthode des moindres carrés, théorème spectral, décomposition en valeurs singulières.
Formes: formes linéaires, espace dual, formes bilinéaires, formes sesquilinéaires, matrices symétriques et hermitiennes.
Théorème de Sylvester.
Systèmes d’équations différencielles linéaires, formes de Jordan.
Algèbre linéaire sur les entiers: Formes normales de Hermite et Smith, solution des systhèmes linéaires sur les entiers, groupes abéliens de type fini.
Organisation
Le cours et les séances d’exercices se dérouleront en présentiel le mardi et le vendredi. Les cours commencent le 23/02 et les exercices le 25/02.
Chaque semaine, il y aura une série d’exercices qui sera discutée le vendredi après-midi et deux exercices qui seront présentés lors des sessions du mardi. Les séries de chaque vendredi seront mises en ligne le vendredi d’avant et les solutions le vendredi d’après. Les séries et les notes de cours seront sur le Moodle. Il y a également un forum piazza où vous pourrez poser vos questions.
Un exercice avancé de chaque série sera présenté le mardi d’après ainsi qu’un exercice préparatoire pour la série suivante. La session du mardi sera également consacrée à répondre à vos questions sur le cours.
Pendant le semestre, il y aura 3 mini-examens que vous devrez passer en mode “take-home exam” (sans aide extérieure et en travaillant individuellement). La moyenne des notes des mini-exams comptera pour 10% de la note finale.
Bibliographie
Il existe de nombreux livres d’algèbre linéaire. Le cours ne suit aucun de ces ouvrages de manière systématique, mais bien des matières du cours se trouvent dans ces livres.
Voici un choix :
S. Lang, Linear algebra, 3rd edition, Springer, 1987.
R. Cairoli, Algèbre linéaire, Presses Polytechiniques Universitaires Romandes, 1999.
R. Bellman, Introduction to matrix analysis, second edition, SIAM Classics in Applied Mathematics, 1997.
K. Houston, Comment penser comme un mathématicien, De Boeck, 2011.
M. Artin, Algebra, Pearson, 2nd edition, 2010.
De nombreux exercises corrigés se trouvent dans les ouvrages:
R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.
D. C. Lay, Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, Pearson, 4e édition, 2012.