Algèbre Linéaire Avancée II ‒ Disopt ‐ EPFL

Enseignant: Prof. Friedrich Eisenbrand
Assistant principal: Christoph Hunkenschröder

Autres assistants: Matthias Schymura, Charles Barbizet, Jeanne Fernandez, Jules Maire, Katie Jooyoung Kim, Matthieu Haeberle

Objectifs

L’objectif du cours est d’introduire les notions de base de l’algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.

Contenu

Valeurs propres et vecteurs propres : polynome caracteristique, matrices semblables, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton
Produits scalaires: bases orthogonales, méthode de Gram-Schmidt, matrices orthogonales, la méthode des moindres carrés, théorème spectral, décomposition en valeurs singulières
Formes: formes linéaires, espace dual, formes bilinéaires, formes sesquilinéaires, matrices symétriques et hermitiennes
Théorème de Sylvester
Systèmes d’équations différencielles linéaires, formes de Jordan
Algèbre linéaire sur les entiers: Formes normales de Hermite et Smith, solution des systhèmes linéaires sur les entiers, groupes abéliens de type fini

Horaire et Organization

Cours (ex-cathedra) donné par le prof. Friedrich Eisenbrand.

Mardi	13h15 – 15h00	CE 2
Mercredi	14h15 – 16h00	CM 4

Séances d’exercises et répartition des salles par nom:

Mardi	15h15 – 16h00	MA A1 10	A – E
		CM 11 00	F – M
		CM 12 21	N – Z
Vendredi	13h15 – 15h00	CE 11 01 (3.5. et 10.5.: CM 012)	A – E
		CE 11 03	F – M
		CE 11 04	N – Z

Office hours (pendant le semestre):

Christoph Hunkenschröder	MA C1 573 / MA B1 524	Mardi, 16h15 – 17h00
Matthias Schymura	MA C1 563	Vendredi, 11h15 – 12h00

Exercices

Séance d’exercices:
Pendant la séance d’exercices, essayez de faire les exercices par vous-mêmes. Vous n’allez probablement pas terminer tous les exercices pendant cette séance-là. Il est fortement recommandé de les finir en dehors des sessions de jeudi. Les assistants seront présents dans les salles afin de vous aider. Profitez-en pour poser vos questions!

Les corrigés seront disponibles sur la page du cours et ne seront pas distribués en classe.

Série 01 Solution

Série 02 Solution

Série 03 Solution

Série 04 Solution

Série 05 Solution

Série 06 Solution

Série 07 Solution

Série 08 Solution

Série 09: L’examen blanc

Série 10 Solution

Série 11 Solution

Série 12 Solution

Serie 13 Solution

Serie 14 Solution

Exercices à rendre:
Chaque semaine, il y a un exercice à rendre. Cela vous permet d’évaluer votre maîtrise du raisonnement mathématique. Il n’y aura pas de solution pour cet exercice.

La feuille d’exercice à rendre sera distribuée pendant la séance d’exercices le mardi. Vous avez ensuite une semaine pour résoudre cet exercice et vous devez le rendre pendant la séance de la semaine suivante. On va ensuite discuter de vos solutions.

Comme la séance d’exercices du mardi n’aura pas lieu les premières deux semaines, les exercices seront exceptionnellement distribuées et à rendre pendant le cours pendant ces deux semaines.

Homework 09: L’examen blanc

Homework 10

Homework 11

Homework 12

Exercice de programmation:

Under this link, you can find a python notebook that stores an image via its singular value decomposition. You can already see some exemplary reconstructions of the original image, but to get the full flavour, please create an account at cocalc.com and upload the following notebook file. (You can, of course, also install Python on your computer). You can try different reconstruction qualities and compare how much (less) space you need. You might also want to try different pictures to see whether the number of singular values needed for a good result decreases for “simpler” pictures.

Singular Value Decomposition

For the Hermite Normal Form, there is a python-notebook file. You can use it to compute the Hermite Normal Form of a given matrix, it might be useful for Sheet 11, Exercise 7.

Hermite Normal Form

Notes

Les notes du cours sont accessibles aux étudiants dans le repository GIT. Toutes les informations nécéssaires pour produire un fichier .pdf à partir d’un fichier .tex sont données dans le fichier README du repository GIT ainsi que sur le site web ci-dessous. Information Latex: vous trouverez ci-dessous la page web du cours TP de mathématiques donné par le Prof. Abdulle de 2009 à 2014. Ce site web vous donne des informations relatives à la rédaction et à la présentation orale de rapports scientifiques.

Introduction à Latex

Forum

Class link : piazza.com/epfl.ch/spring2019/math115a/home

Signup link : piazza.com/epfl.ch/spring2019/math115a

Examen

The exam will take place on Thursday, June 27th, from 12:15 to 15:15 in room CE 1 515 (Salle Polyvalente). Please be at the room 20 minutes before the exam starts, so that we can seat you beforehand and you do not lose time.

Bibliographie

Il existe de nombreux livres d’algèbre linéaire. Le cours ne suit aucun de ces ouvrages de manière systématique, mais bien des matières du cours se trouvent dans ces livres. Voici un choix :

S. Lang, Linear algebra, 3rd edition, Springer, 1987.
R. Cairoli, Algèbre linéaire, Presses Polytechiniques Universitaires Romandes, 1999.
R. Bellman, Introduction to matrix analysis, second edition, SIAM Classics in Applied Mathematics, 1997.
K. Houston, Comment penser comme un mathématicien, De Boeck, 2011.
M. Artin, Algebra, Pearson, 2nd edition, 2010.

De nombreux exercices corrigés se trouvent dans les ouvrages :

R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.
D. C. Lay, Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, Pearson, 4e édition, 2012.